Recordarás que cuando nos referimos a las ecuaciones de primer grado las representábamos por medio de una recta:
Ejemplo: 

Tienes la ecuación   si das un valor a x obtienes otro para y, este valor lo llevábamos al eje de coordenadas y fijábamos un punto.
Dábamos otro valor a x y obteníamos el correspondiente a y .Con estos dos valores conseguíamos el segundo punto.
Al unir los dos puntos determinábamos la recta. Todos los puntos de la recta son respuestas de la ecuación.

En el caso de las ecuaciones de 2º grado su representación gráfica es muy diferente.

Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser 2): 

Vamos a dar valores a la variable independiente  x  y conseguiremos que la variabledependiente  y  tome los suyos:

En primer lugar damos a  x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente  – 2 y por fin, – 3. La variable dependiente  y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9

Podemos escribir:

Colocamos en el eje de coordenadas los puntos: 

         y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura
                                        siguiente:

13.82  Representa gráficamente la ecuación de 2º grado: 

Respuesta:

Solución
Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º grado: 

Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola.
¿Por qué los puntos no los unimos con rectas?
Porque si en la ecuación de 2º grado  diéramos a  x los valores que indicamos a continuación los correspondientes al eje y serían::

Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los puntos y obtendríamos algo parecido a:

Por la colocación de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el resultado.

Vértice de la parábola
Si te has fijado bien, en todas las figuras referidas a la parábola has visto, por un lado, el eje de coordenadas y por otro, la parábola.

Llamamos vértice de la parábola al punto común de la parábola con el eje vertical de la misma o su eje de simetría.
No se trata del eje vertical o de ordenadas de un eje de coordenadas.
Nos referimos al eje de la parábola.

El eje de la parábola es un eje de simetría que divide a la parábola en dos curvas iguales. Cada una de estas curvas se llaman ramas o brazos de la parábola.

 ¿Qué es un eje de simetría en una parábola?
Es una línea de modo que si doblásemos el papel por dicha línea, las ramas de la parábola coincidirían.
Todas las figuras que has visto hasta ahora, el vértice lo tienen en el punto (0.0).
En todos los casos que vamos estudiando, el eje de la parábola coincide con el eje coordenadas, pero esto no es siempre así como veremos más adelante.

Vamos a dibujar una parábola cuyo vértice se encuentre en el punto (0,1).
En primer lugar debemos conocer la ecuación de 2º grado, supongamos que se trata de:

El vértice se hallará en el punto (0,1). Veamos porqué.

Si a "x" le das el valor cero en esta ecuación, comprobarás que el valor de y es 1. Luego, parax=0; y=1.

Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas.
El resto de los puntos (en color verde),  y obtenemos la parábola:

En el caso de que representásemos gráficamente la ecuación:         

                      Para x=0 y=-2 La parábola sería:

En el caso de que la ecuación fuese  el vértice estaría situado en el punto (0,2):

Si a x le das el valor 0 en la ecuación propuesta, y valdrá 2.

13.82(a)  Representa gráficamente la ecuación: 

13.83  Representa gráficamente la ecuación:  

Respuesta:

Solución
Los puntos que hemos tomado han sido:

El vértice de la parábola lo tenemos en el punto (0,-1)
¿Qué sucede con las coordenadas del vértice en el caso de la representación gráfica de una ecuación de 2º grado del tipo 
Cuando la ecuación de 2º grado es del tipo el vértice se traslada hacia laderecha tantas unidades como vale m.
En el caso de se traslada hacia la izquierda tantas unidades como vale m.

Ejemplo: 

En este caso a vale 1.

Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas

Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto común de la parábola y su eje.
Si doblásemos el papel por el eje de la parábola, las dos ramas o brazos coincidirían.

13.84   ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente a la ecuación 

Respuesta: el punto (1,0)
13.85    ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente a la ecuación 
Respuesta: el punto (-3,0)
13.86  ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente a la ecuación 
Respuesta: el punto (0,7)
13.87 ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente a la ecuación 

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR EL MÉTODO DE COMPLETAR CUADROS

"Completar el Cuadrado" consiste exactamente en eso — tomar algo que probablemente no es un cuadrado y convertirlo en uno. Podemos ilustrar esta idea usando el modelo de área de un binomio x² +bx:

En este ejemplo, el área de todo el rectángulo está dada por x(x + b). 

Ahora vamos a convertir este rectángulo en un cuadrado. Primero, dividimos el rectángulo rojo con área bx en dos rectángulos iguales cada uno con área . Luego rotamos y cambiamos de posición uno de ellos. No hemos cambiado el tamaño del área roja — sigue siendo bx.

 

Los rectángulos rojos ahora forman dos lados de un cuadrado, mostrado en blanco. El área de ese cuadrado es la longitud de los rectángulos rojos elevada al cuadrado .

Aquí viene lo interesante — ¿puedes ver que cuando el cuadrado blando es sumado a las regiones azul y rojas, el área total también es un cuadrado? En otras palabras, ¡hemos "completado el cuadrado"! Al sumar la cantidad al binomio original, hemos creado un cuadrado, un cuadrado con lados :

Nota que el área de este cuadrado puede ser escrita de dos maneras, como , y como .

Completando el Cuadrado Para completar el cuadrado en una expresión de la forma x2 + bx, sumar . Y la expresión se vuelve .

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR FORMULA GENERAL

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: .

Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de  que cumplen con la expresión, si es que existen.

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta").

Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si  es menor que  los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.

Si  es mayor que  obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si  es igual que  obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Al término  se le llama discriminante.

tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x²-6x+9